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题目描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

解题思路：数组指针的移动

首先从丑数的定义我们知道，一个丑数的因子只有2,3,5，那么丑数 z = 2 ^ x * 3 ^ y * 5 ^ z，换句话说一个丑数一定由另一个丑数乘以2或者乘以3或者乘以5得到，那么我们从1开始乘以2,3,5，就得到2,3,5三个丑数；再从这三个丑数出发乘以2,3,5就得到4，6,10；6，9,15；10,15,25九个丑数，我们发现这种方法得到了重复的丑数，而且我们题目要求第N个丑数，这样的方法得到的丑数也是无序的。那么我们可以维护三个队列：

（1）丑数数组： 1

乘以2的队列：2

乘以3的队列：3

乘以5的队列：5

选择三个队列头最小的数2加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（2）丑数数组：1,2

乘以2的队列：4

乘以3的队列：3，6

乘以5的队列：5，10

选择三个队列头最小的数3加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（3）丑数数组：1,2,3

乘以2的队列：4,6

乘以3的队列：6,9

乘以5的队列：5,10,15

选择三个队列头里最小的数4加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（4）丑数数组：1,2,3,4

乘以2的队列：6，8

乘以3的队列：6,9,12

乘以5的队列：5,10,15,20

选择三个队列头里最小的数5加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；

（5）丑数数组：1,2,3,4,5

乘以2的队列：6,8,10，

乘以3的队列：6,9,12,15

乘以5的队列：10,15,20,25

选择三个队列头里最小的数6加入丑数数组，但我们发现，有两个队列头都为6，所以我们弹出两个队列头，同时将12,18,30放入三个队列；

……………………

⚠️ 1. 为什么分三个队列？

丑数数组里的数一定是有序的，因为我们是从丑数数组里的数乘以2,3,5选出的最小数，一定比以前未乘以2,3,5的数大；同时对于三个队列内部，按先后顺序乘以2,3,5分别放入，所以同一个队列内部也是有序的。从而保障了每个队列的有序的，便于解题。

⚠️ 2. 为什么比较三个队列头部最小的数放入丑数数组？[优化方向]

因为三个队列是有序的，所以取出三个头中最小的，等同于找到了三个队列所有数中最小的。从而无需对额外的3个数组（将丑数数组的数乘以2，3，5的数组）进行维护。

实现思路

我们没有必要维护三个队列，只需要记录三个指针显示到达哪一步；“|”表示指针,arr表示丑数数组；

（1）1

|2

|3

|5 目前指针指向0,0,0，队列头arr[0] * 2 = 2, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5

（2）1 2

2 |4

|3 6

|5 10

目前指针指向1,0,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5

（3）1 2 3

2| 4 6

3 |6 9

|5 10 15

目前指针指向1,1,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[1] * 3 = 6, arr[0] * 5 = 5

………………

Complexity

  • 时间复杂度：O(N)
  • 空间复杂度：O(1)

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
class Solution:
    def GetUglyNumber_Solution(self, index):
        # write code here
        # 0-6的丑数分别为0-6
        if index <=6:
            return index
        array = []
        # p1，p2，p3分别为三个队列的指针，newNum为从各个队列头部选出来的最小数
        p1,p2,p3 = 0,0,0
        newNum = 1  #不要忘记定义第一个元素为1
        array.append(newNum)
        while len(array) < index:
            # 选出三个队列头最小的数
            newNum = min(array[p1]*2,array[p2]*3,array[p3]*5)
            # 多个if原因：三个队列头最小的数有多个的情况，比如1个最小，2个一样的最小值，乃至3个一样的最小值
            if array[p1]*2 == newNum: 
                p1 += 1
            if array[p2]*3 == newNum: 
                p2 += 1                
            if array[p3]*5 == newNum: 
                p3 += 1   
            array.append(newNum)
        return newNum

参考

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